해석개론 - 연습문제 1.6.7

[출처] : 김김계 해석개론 연습문제 1.6.7

문제 임의의 자연수 $n = 1, 2, \dots$ 에 대하여, $\sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 은 무리수임을 보여라.

먼저, 주어진 수 $x = \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1}$ 에 대해, $x^2 = 2n + 2 \sqrt{n^2-1}$ 이다. 따라서, $\sqrt{n^2-1}$이 모든 자연수에 대하여 무리수임을 보이는 것으로 충분하다.
(만약 $x$가 유리수라면 $x^2$ 도 유리수이고, 이때 $\sqrt{n^2-1}$ 이 무리수일 수 없으므로)

어떤 수 제곱수 $a^2$ 과 $b^2$ 에 대해 $a^2+1 = b^2$ 이면, $(b-a)(b+a) = 1$ 이어야 하고 $b>a, a, b \in \N$ 이어야 하는데 이러한 두 자연수는 없으므로, 연속한 두 자연수가 모두 제곱수일 수 없다. 따라서, 만약 어떤 자연수의 제곱근이 자연수가 아닌 유리수일 수 없음을 보일 수 있다면, $n^2-1$ 이 제곱수인 것은 불가능하므로 원래의 명제를 보인 것과 같다. 따라서 어떤 자연수의 제곱근이 자연수가 아닌 유리수일 수 없음을 보이자.

어떤 자연수 $r$에 대해, $r = k^2$ 을 만족하는 자연수 $k$는 존재하지 않으나 $r = (p/q)^2$ 을 만족하는 자연수 $p, q$ 는 존재한다고 가정하자. 이때, 소인수분해를 생각하면 $p^2 = p_1^{2e_1} \times p_2^{2e_2} \times \dots$ 로 쓸 수 있고, $q^2 = p_1^{2e'_1} \times p_2^{2e'_2} \times \dots$로 쓸 수 있다. 따라서 $(p/q)^2$ 도 $p_1^{2m_1} \times p_2^{2m_2} \times \dots$ (단, $m_i = e_i - e'_i$) 형태로 쓸 수 있고, 이러면 다시 $p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times \dots = k$ 로 둘 때 $r = k^2$ 가 되므로 모순. 따라서, 어떤 자연수의 제곱근이 자연수가 아닌 유리수일 수는 없으며, 제곱수가 아닌 자연수는 반드시 무리수인 제곱근을 갖는다.

따라서 다시 $\sqrt{n^2-1}$은 항상 무리수임을 알 수 있다. 이때 $n = 1$ 인 경우, 위 명제에서 $0^2+1 = 1^2$ 이므로 보인 명제와 관련이 없으나, $\sqrt{0} + \sqrt{2} = \sqrt{2}$ 가 무리수이므로 특수한 경우로 생각하고 $n \geq 2$ 에 대해서만 보여도 충분하다. 그러므로 $x^2$ 가 항상 무리수가 되고, 무리수의 제곱근이 유리수일 수 없으므로 $x$도 항상 무리수가 된다.