KAIST PoW 2019-06. Simple but not too simple integration

KAIST PoW (Problem of the Week) 2019-06.

내가 본 KAIST PoW 문제 중에는 가장 쉬운 축에 속하는 문제인데, Best Solution에는 상당히 어려운 해석학 지식을 요구하는 풀이가 꽤 많이 적혀있었다. 그냥 적분으로도 계산 가능하지만...

 

문제

Compute the following Integral.

$$\int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\cos{x}) \ dx$$

 

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스포방지선

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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풀이

먼저, 약간의 관찰로 다음을 생각해 볼 수 있다.
$$\int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\cos{x}) \ dx = \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\sin{x}) \ dx $$
당연하게도, 적분하려는 두 함수가 서로 $\pi / 4$ 에 대해서 대칭일 것이기 때문이다. 이 값을 $I$ 라고 하자.
따라서,
$$2I = \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\cos{x}) \ dx + \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\sin{x}) \ dx $$
그런데 두 식에 모두 $\log$ 가 취해져 있으므로, 덧셈을 잘 정리할 수 있다.
$$2I = \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (4\sin{x}\cos{x}) \ dx = \int_{0}^{{\pi}/{2}} \log (2\sin{2x}) \ dx$$
$2x = u$ 로 치환적분하면, 다음과 같다. 적분 범위에 무한대가 있긴 하지만, 이상적분은 아무튼 잘 정의가 되므로 문제는 없다.
$$2I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log(2 \sin u) \ du$$
그런데, 생각해 보면 $2 \sin u$ 는 다시 $\frac{\pi}{2}$ 에 대해 대칭이므로, 적분 구간을 $0$부터 $\frac{\pi}{2}$ 로 맞춰 줄 수 있다.
$$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \log (2 \sin u) \ du$$
처음 식에서, 이 값을 $I$ 라고 잡았었다. 즉,
$$2I = I \Longrightarrow I = 0$$

 

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여담

KAIST PoW가 재밌는 문제가 꽤 나오는 것 같은데, 난이도가 너무 들쭉날쭉한 경향이 조금 있다. 뭐 정해가 이게 아니라 르벡적분을 정해라고 생각하고 출제된 거라면 얘기가 다르지만... 이 문제는 어쨌든 잘 적분해 보자 라는 메타라서..