수열의 극한 문제

문제 출처 : 서울대학교 해석개론 및 연습 1 기말고사 (2019)

오늘 본 해석개론 시험에서, 대학 1학년 미적분학 수준에서 그렇게 어렵지 않게 잘 풀 수 있는 문제가 하나 나와서 포스팅해 보려고 한다. 

Analysis 쪽에서 나머지 문제들을 다 풀어 보고 싶은데, 일단 시험때 못푼 문제가 있고 지금은 남은 시험이 있으니 제일 쉬운 거부터.

 

언젠가 김김계나 PMA의 연습문제들도 풀어볼것 같고, 아무튼 여름방학 중에 수학 포스팅도 많이 해보려고 한다.

 

문제

$a_n$ 이 다음과 같이 정의되어 있을 때, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ 의 값을 구하여라.

$$a_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2)\cdots(2n-1)(2n))^{\frac1n}$$

 

 

풀이

딱히 스포방지선을 걸어야 할 만큼 재밌는 문제는 아니니까, 그냥 바로 풀고 넘어가자.

우리는 합으로 된 급수를 정적분으로 바꾸는 방법은 잘 알고 있지만, 곱을 바꾸는 방법에 대해서는 별로 아는 바가 없다. 

일단은 지수도 있고, 편해지기 위해 자연스럽게 양쪽에 로그를 취하자.

$$\log a_n = -\log{n} + \frac{1}{n} (\log(n+1) + \log(n+2) + \cdots \log(2n))$$

 

우선 앞에 $-\log{n}$ 을 어떻게 할지는 천천히 생각하고, 뒷 부분을 뭔가 적분으로 바꾸면 좋을 것 같아 보인다. $\frac{1}{n}$ 도 있으니까.

모든 항에서 $\log{n}$ 만큼을 빼 주고, 항이 총 $n$ 개이므로 $n \log n$ 을 더해 주자. 

$$\log a_n = -\log{n} + \frac{1}{n} (n \log n + \log\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \log\left(1+\frac{2}{n}\right) + \cdots \log(2))$$

 

* 괄호를 어떻게 해도 뭔가 마음에 안든다. $\TeX$ 문법 특유의 매우 화가나는 \left, \right 괄호 시스템 덕분에, Atom 에서 작성하고 블로그로 옮기는게 더 편할 지경;;

 

$n \log n$ 항을 앞으로 빼 주면 $- \log{n}$ 과 함께 날아가서 더 편해진다. 남은 부분을 적분으로 고쳐주자.

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \log a_n = \frac{1}{n}\sum_{k = 1} ^{n} \log\left(1 + \frac{k}{n}\right)\rightarrow \int_{1}^{2} \log{x} \ dx $$

 

적분 계산이야 별거 없으니까 (시험때 순간 $\log x$ 적분이 생각이 안나서 뇌 정지가 왔다. 고등학교 때 정말 수없이 했던건데;;;)

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \log a_n \rightarrow \log\left(\frac{4}{e}\right)$$

 

따라서,

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \frac{4}{e}$$