2019 IMO Problem 1

함수방정식 문제. 이걸로 올해 내가 풀 수 있는 IMO 문제는 끝일듯하다.

 

문제

모든 정수 $a, b$ 에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 를 모두 구하여라.

$$f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))$$

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스포방지선

사실 굳이 스포방지선 없어도 될 것 같지만, IMO 문제니까 예의상 넣어주자.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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풀이

$a = 0$ 을 대입. 

$$f(0) + 2f(b) = f(f(b))$$

이 식을 식 (1) 이라고 하자.

$a = 1$ 을 대입.

$$f(2) + 2f(b) = f(f(b+1))$$

이 식을 식 (2) 라고 하자.

$b = 0$ 을 대입.

$$f(2a) + 2f(0) = f(f(a))$$

이 식을 식 (3) 라고 하자.

 

식 (1) 을 이용하여, 식 (2) 를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$f(f(b+1)) = 2f(b+1) + f(0) = f(2) + 2f(b)$$

따라서, $$f(b+1) - f(b) = \frac{f(2)-f(0)}{2}$$ 가 성립하므로, $f(x)$ 는 $mx + n$ 형태이다.

이제, 정보를 더 얻기 위해 3번 식에 대입하자.

$2am + 3n = m(am+n) + n$ 

$m \neq 0$ 이라면, $m = 2$ 이고, 이때 임의의 $n$이 주어진 식을 만족한다.

$m = 0$ 이라면, $n = 0$만이 주어진 식을 만족한다.

 

따라서, $f(x) = 0$ 또는 $f(x) = 2x + c$, $c$는 임의의 상수.

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